e-Funktion Ableitung Rechner
✓ Kostenloser Online-Rechner
Berechnen Sie Ableitungen von e-Funktionen sofort mit Schritt-für-Schritt-Lösung!
Beispiele:
e^x
e^(3x)
e^(x²)
e^(-x)
e^(-x²)
e^(2x+1)
e^(x³)
e^(sin x)
e^(ln x)
💡 Eingabetipp
Verwenden Sie * für Multiplikation (2*x) und ^ für Potenzen (x^2). Drücken Sie Enter zum Berechnen!
📖 Verwendung
1. Eingabe: Funktion mit * und ^ eingeben (z.B. e^(2*x))
2. Berechnen: Button klicken oder Enter drücken
3. Lösung: Vollständige Schritt-für-Schritt-Erklärung
ℹ Eingabehilfe
Multiplikation: 2*x | Potenz: x^2 | Wurzel: sqrt(x) | Sinus: sin(x) | Kosinus: cos(x) | Logarithmus: ln(x)
🎯 Ableitungsregeln
e^x → e^x
Grundregel: Die einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist
e^(k·x) → k·e^(k·x)
Lineare Exponenten: Konstanter Faktor wird Vorfaktor
e^(g(x)) → e^(g(x))·g'(x)
Kettenregel: Äußere mal innere Ableitung (wichtigste Regel!)
✓ Merke: Die Kettenregel
Bei allen komplexen Exponenten gilt: f'(x) = e^(g(x)) · g'(x) – leiten Sie den Exponenten ab und multiplizieren!
📚 8 Wichtigste Beispiele
Diese Beispiele decken alle prüfungsrelevanten Fälle ab – von einfach bis anspruchsvoll.
Beispiel 1: Grundfunktion BASIS
f(x) = e^x
Regel: Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung
Warum wichtig: Fundamentale Eigenschaft von e
f'(x) = e^x
📌 Anwendung: Beschreibt kontinuierliches Wachstum (Bakterien, Zinseszins)
Beispiel 2: Linearer Exponent LINEAR
f(x) = e^(3x)
Schritt 1: Innere Funktion g(x) = 3x
Schritt 2: Ableitung g'(x) = 3
Kettenregel: e^(3x) · 3
f'(x) = 3·e^(3x)
📌 Anwendung: Exponentielles Wachstum mit konstanter Rate
Beispiel 3: Quadratischer Exponent POLYNOM
f(x) = e^(x²)
Schritt 1: g(x) = x²
Schritt 2: g'(x) = 2x
Kettenregel: e^(x²) · 2x
f'(x) = 2x·e^(x²)
📌 Anwendung: Häufig in Wahrscheinlichkeitsrechnungen
Beispiel 4: Negativer Exponent ZERFALL
f(x) = e^(-x)
Schritt 1: g(x) = -x
Schritt 2: g'(x) = -1
Kettenregel: e^(-x) · (-1)
f'(x) = -e^(-x)
📌 Anwendung: Radioaktiver Zerfall, Abkühlung (Newton’sches Abkühlungsgesetz)
Beispiel 5: Gauß’sche Glockenkurve STATISTIK
f(x) = e^(-x²)
Besonderheit: Basis der Normalverteilung!
Schritt 1: g(x) = -x²
Schritt 2: g'(x) = -2x
f'(x) = -2x·e^(-x²)
📌 Anwendung: Normalverteilung in Statistik, Quantenmechanik, Signalverarbeitung
Beispiel 6: Linear kombiniert KOMBINATION
f(x) = e^(2x+1)
Schritt 1: g(x) = 2x+1
Schritt 2: g'(x) = 2
Kettenregel: e^(2x+1) · 2
f'(x) = 2·e^(2x+1)
📌 Anwendung: Verschobene Wachstumsfunktionen
Beispiel 7: Kubischer Exponent HÖHERE ORDNUNG
f(x) = e^(x³)
Schritt 1: g(x) = x³
Schritt 2: g'(x) = 3x²
Kettenregel: e^(x³) · 3x²
f'(x) = 3x²·e^(x³)
📌 Anwendung: Komplexe nichtlineare Systeme
Beispiel 8: Trigonometrisch FORTGESCHRITTEN
f(x) = e^(sin(x))
Schritt 1: g(x) = sin(x)
Schritt 2: g'(x) = cos(x)
Kettenregel: e^(sin(x)) · cos(x)
f'(x) = cos(x)·e^(sin(x))
📌 Anwendung: Schwingungen mit exponentieller Dämpfung, Fourier-Analyse
💡 Lerntipp
Diese 8 Beispiele decken 95% aller Prüfungsaufgaben ab! Beginnen Sie mit Beispiel 1-4, dann arbeiten Sie sich zu 5-8 vor.
📊 Schnellreferenz
| Funktion | Ableitung | Typ |
|---|---|---|
| e^x | e^x | Basis |
| e^(kx) | k·e^(kx) | Linear |
| e^(-x) | -e^(-x) | Zerfall |
| e^(x²) | 2x·e^(x²) | Quadratisch |
| e^(-x²) | -2x·e^(-x²) | Gauß |
| e^(x³) | 3x²·e^(x³) | Kubisch |
| e^(ax+b) | a·e^(ax+b) | Verschoben |
| e^(sin(x)) | cos(x)·e^(sin(x)) | Trigonometrisch |
| e^(cos(x)) | -sin(x)·e^(cos(x)) | Trigonometrisch |
| e^(ln(x)) | 1 | Logarithmisch |
❓ Häufig gestellte Fragen (FAQs)
Was ist die e-Funktion?
Die e-Funktion, basierend auf der Eulerschen Zahl e (circa 2,71828), hat eine einzigartige Eigenschaft: Ihre Ableitung ist identisch mit der Funktion selbst (f'(x) = e^x). Dies macht sie entscheidend in Bereichen wie natürliche Wachstumsprozesse, Zerfallsprozesse, Bakterienwachstum und Bevölkerungswachstum, sowie in der Zinseszinsrechnung und bei Phänomenen wie radioaktivem Zerfall und Abkühlungsprozessen.
Wie leitet man e^x ab?
Die Ableitung von e^x ist e^x selbst. Dies ist die fundamentale Eigenschaft der e-Funktion: f(x) = e^x → f'(x) = e^x
Warum ist das so?
Die e-Funktion wächst so, dass ihre Ableitung immer gleich ihrem Funktionswert ist. Zum Beispiel ist der Wert bei x=2 etwa 7,39 und entspricht der Wachstumsrate an diesem Punkt. Das macht die e-Funktion einzigartig und wichtig, da ihre Wachstumsrate und der Funktionswert am Punkt x=2 exakt übereinstimmen.
Beispiel:
• f'(x) = e^x (erste Ableitung)
• f”(x) = e^x (zweite Ableitung)
• f”'(x) = e^x (dritte Ableitung)
Das bedeutet, dass alle Ableitungen der e-Funktion identisch sind, was ihre einzigartige Eigenschaft widerspiegelt.
Beispiel:
• f'(x) = e^x (erste Ableitung)
• f”(x) = e^x (zweite Ableitung)
• f”'(x) = e^x (dritte Ableitung)
Das bedeutet, dass alle Ableitungen der e-Funktion identisch sind, was ihre einzigartige Eigenschaft widerspiegelt.
Was ist die Kettenregel bei e-Funktionen?
Die Kettenregel hilft, e-Funktionen abzuleiten, besonders wenn sie eine innere Funktion enthalten. Bei der Funktion f(x) = e^(g(x)) identifizierst du zuerst die innere Funktion, leitest sie ab und multiplizierst das Ergebnis mit der Ableitung der äußeren Funktion. Beispiel: Bei g(x) = 3x² ergibt sich die Ableitung als 6x·e^(3x²).
Wie berechnet man die Ableitung von e^(2x)?
Um die Ableitung der Funktion e^(2x) zu berechnen, verwenden wir die Kettenregel. Hierbei handelt es sich um eine Methode, die besonders nützlich ist, wenn man eine Funktion der Form e^(g(x)) ableiten möchte, wobei g(x) eine innere Funktion ist.
Schritt 1: Zuerst identifizieren wir die innere Funktion. In diesem Fall ist die innere Funktion 2x oder g(x) = 2x.
Schritt 2: Dann leiten wir die innere Funktion ab. Die Ableitung von g(x) = 2x ergibt g'(x) = 2.
Schritt 3: Jetzt wenden wir die Kettenregel an. Für die Funktion e^(2x), die wir ableiten, bleibt die äußere Funktion unverändert (e^(2x)) und der konstante Faktor 2 aus der inneren Funktion wird als Vorfaktor übernommen. So ergibt sich die Ableitung f'(x) = 2 · e^(2x).
Schritt 1: Zuerst identifizieren wir die innere Funktion. In diesem Fall ist die innere Funktion 2x oder g(x) = 2x.
Schritt 2: Dann leiten wir die innere Funktion ab. Die Ableitung von g(x) = 2x ergibt g'(x) = 2.
Schritt 3: Jetzt wenden wir die Kettenregel an. Für die Funktion e^(2x), die wir ableiten, bleibt die äußere Funktion unverändert (e^(2x)) und der konstante Faktor 2 aus der inneren Funktion wird als Vorfaktor übernommen. So ergibt sich die Ableitung f'(x) = 2 · e^(2x).
Was ist der Unterschied zwischen e^x und e^(x²)?
Der Exponent in e^x beschreibt lineares Wachstum, während e^(x²) superexponentielles Wachstum zeigt. Die Ableitung von e^(x²) wächst schneller als bei e^x, und e^(x²) ist symmetrisch zur y-Achse. Bei x=2 ist e^x etwa 7,4, e^(x²) hingegen etwa 54,6, was das beschleunigte Wachstum von e^(x²) verdeutlicht.
Warum ist die Ableitung von e^x gleich e^x?
Die Grenzwertberechnung der Ableitung von e^x mit lim(h→0) [(e^(x+h) – e^x)/h] führt zu e^x, was die Ableitung von e^x gleich e^x macht. Diese einzigartige Eigenschaft ist fundamental für natürliche Wachstumsprozesse und erscheint in wichtigen Bereichen wie Differentialgleichungen, Fourier-Transformationen und Wahrscheinlichkeitstheorie.