E-Funktion Ableiten: Die Komplette Formelsammlung

Die e-Funktion ist eine der wichtigsten mathematischen Funktionen und gleichzeitig eine der elegantesten – denn sie ist ihre eigene Ableitung! Doch sobald komplexere Exponenten ins Spiel kommen, wird das Ableiten schnell zur Herausforderung. Genau hier setzt unsere umfassende Formelsammlung an.

Diese Sammlung enthält über 50 systematisch geordnete Ableitungsformeln für alle gängigen e-Funktions-Varianten. Von den Grundformeln bis zu komplexen Verschachtelungen finden Sie hier alles, was Sie für Ihre Mathematik-Prüfung oder das Studium benötigen. Jede Formel ist klar strukturiert und mit praktischen Anwendungshinweisen versehen.

Egal ob Sie gerade erst mit exponentiellen Funktionen beginnen oder sich auf eine anspruchsvolle Klausur vorbereiten – diese Formelsammlung wird Ihr zuverlässiger Begleiter beim e funktion ableiten rechner und bei der manuellen Berechnung.

Wie Sie diese Formelsammlung optimal nutzen

Diese Formelsammlung ist systematisch aufgebaut, um Ihnen das schnelle Auffinden der benötigten Formel zu ermöglichen:

Struktur verstehen: Die Formeln sind nach Komplexität und Funktionstyp geordnet. Beginnen Sie immer mit den Grundformeln in Teil 1, bevor Sie zu spezielleren Fällen übergehen.

Schnellsuche nutzen: Nutzen Sie den Formel-Finder in Abschnitt 13, wenn Sie eine spezifische Formel suchen. Die Vergleichstabelle in Abschnitt 12 gibt Ihnen einen kompletten Überblick.

Praktisch anwenden: Jede Formel ist mit der allgemeinen Form und einem konkreten Beispiel versehen. Arbeiten Sie die Beispiele durch, bevor Sie eigene Aufgaben lösen.

Merkhilfen verwenden: Die Gedächtnisstützen in Abschnitt 14 helfen Ihnen, die wichtigsten Formeln dauerhaft zu behalten.

Teil 1: Grundformeln (Basis)

Diese fundamentalen Formeln bilden das Fundament für alle komplexeren Ableitungen:

Die vier Basisregeln

1. Die reine e-Funktion:

• Formel: (e^x)' = e^x
• Beispiel: f(x) = e^x → f'(x) = e^x

2. E-Funktion mit konstantem Faktor:

• Formel: (e^(kx))' = k·e^(kx)
• Beispiel: f(x) = e^(3x) → f'(x) = 3·e^(3x)

3. E-Funktion mit negativem Exponenten:

• Formel: (e^(-x))' = -e^(-x)
• Beispiel: f(x) = e^(-2x) → f'(x) = -2·e^(-2x)

4. E-Funktion mit Konstante im Exponenten:

• Formel: (e^k)' = 0 (k = Konstante)
• Beispiel: f(x) = e^5 → f'(x) = 0

Diese Grundformeln sollten Sie unbedingt auswendig können, da sie die Basis für alle weiteren Ableitungen bilden.

Teil 2: Polynomiale Exponenten

Bei polynomialen Exponenten wenden wir die Kettenregel an. Der äußere Exponent bleibt erhalten, der innere wird abgeleitet:

Quadratische und kubische Exponenten

1. Quadratischer Exponent:

• Formel: (e^(x²))' = 2x·e^(x²)
• Beispiel: f(x) = e^(x²) → f'(x) = 2x·e^(x²)

2. Kubischer Exponent:

• Formel: (e^(x³))' = 3x²·e^(x³)
• Beispiel: f(x) = e^(x³) → f'(x) = 3x²·e^(x³)

3. Allgemeine quadratische Form:

• Formel: (e^(ax²+bx+c))' = (2ax+b)·e^(ax²+bx+c)
• Beispiel: f(x) = e^(2x²+3x+1) → f'(x) = (4x+3)·e^(2x²+3x+1)

Weitere polynomiale Formeln

4. (e^(x⁴))' = 4x³·e^(x⁴)

5. (e^(x⁵))' = 5x⁴·e^(x⁵)

6. (e^(ax³+bx²+cx+d))' = (3ax²+2bx+c)·e^(ax³+bx²+cx+d)

7. (e^(x²+5x))' = (2x+5)·e^(x²+5x)

8. (e^(3x²-2x+1))' = (6x-2)·e^(3x²-2x+1)

9. (e^(-x²))' = -2x·e^(-x²)

10. (e^(½x²))' = x·e^(½x²)

11. (e^(x²-4))' = 2x·e^(x²-4)

12. (e^(2x³))' = 6x²·e^(2x³)

13. (e^(x⁴-2x²))' = (4x³-4x)·e^(x⁴-2x²)

Teil 3: Trigonometrische Kombinationen

Die Kombination von e-Funktionen mit trigonometrischen Funktionen erfordert besondere Aufmerksamkeit bei der Kettenregel:

Grundlegende trigonometrische Kombinationen

1. E-Funktion mit Sinus:

• Formel: (e^(sin(x)))' = cos(x)·e^(sin(x))
• Beispiel: f(x) = e^(sin(x)) → f'(x) = cos(x)·e^(sin(x))

2. E-Funktion mit Kosinus:

• Formel: (e^(cos(x)))' = -sin(x)·e^(cos(x))
• Beispiel: f(x) = e^(cos(x)) → f'(x) = -sin(x)·e^(cos(x))

3. E-Funktion mit Tangens:

• Formel: (e^(tan(x)))' = sec²(x)·e^(tan(x))
• Beispiel: f(x) = e^(tan(x)) → f'(x) = (1/cos²(x))·e^(tan(x))

Erweiterte trigonometrische Formeln

4. (e^(sin(2x)))' = 2cos(2x)·e^(sin(2x))

5. (e^(cos(3x)))' = -3sin(3x)·e^(cos(3x))

6. (e^(sin²(x)))' = 2sin(x)cos(x)·e^(sin²(x))

7. (e^(tan(2x)))' = 2sec²(2x)·e^(tan(2x))

8. (e^(sin(x)+cos(x)))' = (cos(x)-sin(x))·e^(sin(x)+cos(x))

9. (e^(arcsin(x)))' = (1/√(1-x²))·e^(arcsin(x))

10. (e^(arctan(x)))' = (1/(1+x²))·e^(arctan(x))

11. (e^(cot(x)))' = -csc²(x)·e^(cot(x))

Teil 4: Logarithmische Kombinationen

Bei logarithmischen Kombinationen entstehen oft besonders elegante Vereinfachungen:

Spezielle logarithmische Formeln

1. Die wichtigste Vereinfachung:

• Formel: (e^(ln(x)))' = 1
• Beispiel: f(x) = e^(ln(x)) = x → f'(x) = 1

2. E-Funktion mit x·ln(x):

• Formel: (e^(x·ln(x)))' = (ln(x)+1)·e^(x·ln(x))
• Beispiel: f(x) = e^(x·ln(x)) → f'(x) = (ln(x)+1)·e^(x·ln(x))

Weitere logarithmische Kombinationen

3. (e^(ln(x²)))' = 2/x

4. (e^(2ln(x)))' = 2/x

5. (e^(ln(x)+x))' = (1/x + 1)·e^(ln(x)+x)

6. (e^(x²ln(x)))' = (2x·ln(x) + x)·e^(x²ln(x))

7. (e^(ln(sin(x))))' = cot(x)

8. (e^(ln(cos(x))))' = -tan(x)

Teil 5: Wurzel-Kombinationen

Wurzelfunktionen im Exponenten erfordern die Anwendung der Kettenregel mit Potenzregeln:

Grundlegende Wurzelformeln

1. E-Funktion mit Quadratwurzel:

• Formel: (e^(√x))' = (1/(2√x))·e^(√x)
• Beispiel: f(x) = e^(√x) → f'(x) = (1/(2√x))·e^(√x)

2. E-Funktion mit dritter Wurzel:

• Formel: (e^(x^(1/3)))' = (1/3)x^(-2/3)·e^(x^(1/3))
• Beispiel: f(x) = e^(∛x) → f'(x) = (1/(3∛(x²)))·e^(∛x)

Erweiterte Wurzelkombinationen

3. (e^(√(x²+1)))' = (x/√(x²+1))·e^(√(x²+1))

4. (e^(√(2x)))' = (1/√(2x))·e^(√(2x))

5. (e^(x√x))' = (3/2)√x·e^(x√x)

6. (e^(1/√x))' = (-1/(2x√x))·e^(1/√x)

7. (e^(√(sin(x))))' = (cos(x)/(2√(sin(x))))·e^(√(sin(x)))

Teil 6: Produktregel-Formeln

Wenn e-Funktionen mit anderen Funktionen multipliziert werden, kommt die Produktregel zum Einsatz:

Grundlegende Produktformeln

1. x mal e^x:

• Formel: (x·e^x)' = (x+1)·e^x
• Herleitung: u' = 1, v' = e^x → u'v + uv' = 1·e^x + x·e^x = (x+1)·e^x

2. x² mal e^x:

• Formel: (x²·e^x)' = (x²+2x)·e^x
• Herleitung: u' = 2x, v' = e^x → (2x)·e^x + x²·e^x = (x²+2x)·e^x

Weitere Produktformeln

3. (x³·e^x)' = (x³+3x²)·e^x

4. (sin(x)·e^x)' = (sin(x)+cos(x))·e^x

5. (cos(x)·e^x)' = (cos(x)-sin(x))·e^x

6. (ln(x)·e^x)' = (ln(x)+1/x)·e^x

7. (x·e^(2x))' = (2x+1)·e^(2x)

8. (x²·e^(3x))' = (3x²+2x)·e^(3x)

9. ((x+1)·e^x)' = (x+2)·e^x

10. (e^x·e^(2x))' = 3·e^(3x)

Teil 7: Quotientenregel-Formeln

Bei Brüchen mit e-Funktionen verwenden wir die Quotientenregel:

Grundlegende Quotientenformeln

1. e^x durch x:

• Formel: (e^x/x)' = (x-1)·e^x/x²
• Herleitung: u = e^x, v = x → (u'v - uv')/v² = (e^x·x - e^x·1)/x² = (x-1)·e^x/x²

Weitere Quotientenformeln

2. (e^x/(x+1))' = x·e^x/(x+1)²

3. (x/e^x)' = (1-x)/e^x

4. (e^x/sin(x))' = e^x·(sin(x)-cos(x))/sin²(x)

5. (1/e^x)' = -e^(-x)

6. (e^(2x)/x²)' = e^(2x)·(2x-2)/x³

Teil 8: Spezielle Fälle

Diese fortgeschrittenen Formeln erfordern mehrfache Anwendung der Kettenregel:

Verschachtelte e-Funktionen

1. E-Funktion der e-Funktion:

• Formel: (e^(e^x))' = e^x·e^(e^x)
• Erklärung: Äußere Ableitung mal innere Ableitung

2. E-Funktion von x hoch x:

• Formel: (e^(x^x))' = x^x·(ln(x)+1)·e^(x^x)
• Komplex: Erfordert logarithmische Differentiation

Weitere spezielle Fälle

3. (e^(e^(2x)))' = 2e^(2x)·e^(e^(2x))

4. ((e^x)^x)' = (e^x)^x·(ln(e^x)+1) = x·(e^x)^x

5. (e^(x^(e^x)))' = x^(e^x)·e^x·(ln(x)+1)·e^(x^(e^x))

6. (e^(sin(e^x)))' = e^x·cos(e^x)·e^(sin(e^x))

7. (e^(ln(e^x)))' = 1

8. (e^(√(e^x)))' = (√(e^x)/2)·e^(√(e^x))

📚 15 Schnell-Beispiele

Hier finden Sie die wichtigsten Formeln in Aktion – perfekt zum schnellen Nachschlagen:

1. f(x) = e^(3x) → f'(x) = 3e^(3x)

2. f(x) = e^(x²) → f'(x) = 2x·e^(x²)

3. f(x) = e^(sin(x)) → f'(x) = cos(x)·e^(sin(x))

4. f(x) = x·e^x → f'(x) = (x+1)·e^x

5. f(x) = e^x/x → f'(x) = (x-1)·e^x/x²

6. f(x) = e^(√x) → f'(x) = (1/(2√x))·e^(√x)

7. f(x) = e^(ln(x)) → f'(x) = 1

8. f(x) = e^(-2x) → f'(x) = -2e^(-2x)

9. f(x) = e^(cos(x)) → f'(x) = -sin(x)·e^(cos(x))

10. f(x) = x²·e^x → f'(x) = (x²+2x)·e^x

11. f(x) = e^(tan(x)) → f'(x) = sec²(x)·e^(tan(x))

12. f(x) = e^(x³) → f'(x) = 3x²·e^(x³)

13. f(x) = e^(2x²+3x) → f'(x) = (4x+3)·e^(2x²+3x)

14. f(x) = e^(e^x) → f'(x) = e^x·e^(e^x)

15. f(x) = sin(x)·e^x → f'(x) = (sin(x)+cos(x))·e^x

Komplette Vergleichstabelle

Formel-Finder: Was suche ich?

Sie haben eine Funktion und wissen nicht, welche Regel anzuwenden ist? Folgen Sie diesem Leitfaden:

Schritt 1: Funktionstyp identifizieren

• Nur e^x? → Teil 1 (Grundformeln)
• e^(Polynom)? → Teil 2 (Polynomiale Exponenten)
• e^(sin/cos/tan)? → Teil 3 (Trigonometrische Kombinationen)
• e^(ln(…))? → Teil 4 (Logarithmische Kombinationen)
• e^(√…)? → Teil 5 (Wurzel-Kombinationen)

Schritt 2: Verknüpfung prüfen

• Multiplikation (x·e^x)? → Teil 6 (Produktregel)
• Division (e^x/x)? → Teil 7 (Quotientenregel)
• Verschachtelung (e^(e^x))? → Teil 8 (Spezielle Fälle)

Schritt 3: Passende Formel anwenden

Nutzen Sie die Vergleichstabelle für einen schnellen Überblick oder die 15 Schnell-Beispiele für direkte Anwendungen.

Merkhilfen für Formeln

Diese Gedächtnisstützen helfen Ihnen, die wichtigsten Formeln dauerhaft zu behalten:

Die “Kettenregel-Eselsbrücke”

“Äußere mal innere Ableitung” – bei jeder zusammengesetzten e-Funktion:

• e^(irgendetwas) bleibt e^(irgendetwas)
• Multipliziert mit der Ableitung von “irgendetwas”

Spezielle Merkhilfen

Für Polynome: Die Potenz “wandert nach vorn”

• e^(x²) → 2x·e^(x²) (die 2 wandert vor das x)

Für Trigonometrie: “Sinus wird Kosinus, Kosinus wird minus Sinus”

• e^(sin(x)) → cos(x)·e^(sin(x))
• e^(cos(x)) → -sin(x)·e^(cos(x))

Für Produkte: “Alter plus neuer Partner”

• x·e^x → (x+1)·e^x (x + 1 = alter x plus neuer Partner)

Für ln-Kombinationen: “e und ln heben sich auf”

• e^(ln(x)) = x, also (e^(ln(x)))' = 1

❓ Formelsammlung-FAQs

Muss ich alle Formeln auswendig lernen?

Nein, das wäre kontraproduktiv! Lernen Sie die Grundformeln aus Teil 1 auswendig und verstehen Sie die Kettenregel-Logik. Mit diesem Fundament können Sie alle anderen Formeln selbst herleiten. Die Sammlung dient als Nachschlagewerk und Zeitersparnis bei komplexeren Aufgaben.

Welche Formeln sind am wichtigsten?

Konzentrieren Sie sich auf diese Top-10-Formeln: (e^x)' = e^x, (e^(kx))' = k·e^(kx), (e^(x²))' = 2x·e^(x²), (e^(sin(x)))' = cos(x)·e^(sin(x)), (e^(ln(x)))' = 1, (x·e^x)' = (x+1)·e^x, (e^x/x)' = (x-1)·e^x/x², und die Kettenregel-Grundlogik. Diese decken 90% aller Prüfungsaufgaben ab.

Gibt es eine Grundformel für alles?

Ja! Die Kettenregel ist der Universalschlüssel: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x). Bei e-Funktionen bedeutet das: Die e-Funktion bleibt erhalten, multipliziert mit der Ableitung des Exponenten. Diese eine Regel erklärt praktisch alle Formeln in dieser Sammlung.

Wie finde ich schnell die richtige Formel?

Nutzen Sie die 3-Schritte-Methode:

1) Identifizieren Sie den Funktionstyp (Polynom, Trigonometrie, etc.)

2) Prüfen Sie die Verknüpfung (Produkt, Quotient, Verschachtelung).

3) Konsultieren Sie den entsprechenden Teil der Sammlung. Der Formel-Finder in Abschnitt 13 führt Sie systematisch zur richtigen Formel.

Darf ich diese Sammlung in der Prüfung nutzen?

Das hängt von Ihrer Prüfungsordnung ab. Viele Dozenten erlauben selbst erstellte Formelsammlungen oder stellen sogar offizielle zur Verfügung. Fragen Sie rechtzeitig nach! Wichtig: Auch mit Formelsammlung müssen Sie die Anwendung der Formeln beherrschen – das reine Nachschlagen reicht nicht.

Wie oft sollte ich die Formeln wiederholen?

Verwenden Sie das Intervall-System: Grundformeln täglich für eine Woche, dann alle 3 Tage, dann wöchentlich. Arbeiten Sie täglich 2-3 verschiedene Beispiele durch, anstatt stundenlang zu pauken. Aktive Anwendung ist effektiver als passives Lesen. Nutzen Sie unseren kostenlosen e funktion ableiten rechner zum Überprüfen Ihrer Ergebnisse.

Was mache ich, wenn meine Aufgabe nicht hier ist?

Zerlegen Sie die Funktion in bekannte Bestandteile! Jede komplexe e-Funktion lässt sich durch Kombination der Grundregeln lösen. Identifizieren Sie die äußerste Operation und arbeiten Sie sich schrittweise nach innen vor. Bei völlig neuen Funktionstypen verwenden Sie die allgemeine Kettenregel und leiten Sie die Formel selbst her.

Gibt es Eselsbrücken für schwierige Formeln?

Ja! “EIEA” – “E-Funktion ist Egoist, Ableitung” hilft bei der Kettenregel. Für komplexe Fälle: “Von außen nach innen” – immer die äußerste Funktion zuerst ableiten. Bei Produkten: “Erster bleibt, Zweiter geht + Erster geht, Zweiter bleibt”. Erstellen Sie eigene visuelle Verbindungen zu den Formeln, die Sie persönlich ansprechen.

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Fazit: Ihr Weg zum e-Funktions-Experten

Diese umfassende Formelsammlung bietet Ihnen alle Werkzeuge, die Sie für das erfolgreiche Ableiten von e-Funktionen benötigen. Von den grundlegenden Formeln bis zu komplexen Verschachtelungen haben Sie jetzt über 50 systematisch geordnete Ableitungsregeln zur Hand.

Der Schlüssel zum Erfolg liegt nicht im Auswendiglernen aller Formeln, sondern im Verstehen der zugrundeliegenden Prinzipien. Die Kettenregel ist Ihr wichtigstes Werkzeug – mit ihr können Sie jede e-Funktion ableiten, auch wenn sie nicht explizit in dieser Sammlung steht.

Nutzen Sie diese Sammlung als zuverlässigen Begleiter in Ihrem Mathematikstudium. Kombinieren Sie das theoretische Wissen mit praktischen Übungen und verwenden Sie unseren kostenlosen e-Funktion Ableitung Rechner zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse. So entwickeln Sie die Sicherheit und Geschwindigkeit, die Sie für Ihre Prüfungen benötigen.

Starten Sie jetzt durch! Testen Sie Ihr Wissen mit unserem kostenlosen e funktion ableiten rechner und entdecken Sie, wie einfach das Ableiten von e-Funktionen sein kann, wenn Sie die richtigen Formeln zur Hand haben.